机械能守恒与曲线运动

机械能守恒问题难点之一是系统前后运动方式与状态不同，一个似乎简单的问题却隐含很多复杂情况。机械能守恒指的是系统前后状态的关系，而在整个运动过程中肯定与运动学联系紧密。

基本原理：曲线运动过程中，若满足机械能守恒定律的条件，那么可以求出某一过程的初末状态的速度和高度，结合平抛和圆周运动的规律解题。

【例题】一个内壁光滑半径为R的细圆管放在竖直平面内，其中1/4被截去，如图所示。一小钢球从A处正对着管口B落下，第一种情况要使钢球到C点时对细管无作用力，第二种情况恰能使球经C点平抛后落回到B点。求两种情况下小钢球下落点A距B点的高度h为多少？

【解析】小球从A点开始下落，经过圆管道到达C点的过程中，以OB所在平面为零势能面，由机械能守恒定律得：

mgh =mvC2/2 +mgR ①

第一种情况下，对小球有

mg=mvC2/R ②

①②结合解得：h=3R/2

第二种情况下，对小球有

①③结合解得：h=5R/4

【例题】小球的`质量为m，沿光滑弯曲轨道滑下，与弯曲轨道相接的光滑圆轨道的半径为R，如图所示。为确保小球做完整的圆周运动，小球下滑的高度h的最小值为多少？

【解析】小球在沿光滑的轨道滑动的整个过程中，只有重力做功，机械能守恒。选取地面为零势能面，设小球运动到半圆形轨道的最高点时速度为v，由机械能守恒定律得 mgh=mv2/2+2mgR ①

要使小球能完整的圆周运动，在最高点时应满足条件mg=mv2/R ②

①②两式结合解得h=5R/2。

【点评】关键两点：选择恰当的零势能面;明确圆周运动最高点的临界条件。