实变函数期末试卷

实变函数试题及答案

一、填空题

设12nAn 12n 则limnnA. ab因为存在两个集合之间的一一映射为 . 设E是2R中函数1cos000xyxx的图形上的点所组成的 集合则EE. 若集合nER满足EE 则E为集. 若是直线上开集G的一个构成区间 则满足: . 设E使闭区间ab中的全体无理数集 则mE. 若nmEfx0fx 则说nfx在E上 . 设nER 0nxR若则称0x是E的聚点. 设nfx是E上几乎处处有限的可测函数列 fx是E上 几乎处处有限的可测函数 若0 有 则称nfx在E上依测度收敛于fx. 设nfxfxxE 则nfx的子列jnfx 使得.

11. 111nn .

12.111nnnnn .

13. 01到aab的双射是 .

14. E的全体聚点所组成的集合包含于E的充要条件是 .

15. 01中无理数集的外测度为 .

16. nR中所有开集生成的代数记为B称B中的集合为 .

17. 若0mA则对任意的点集B必有mAB .

18. 当E为闭区间时mE .

19. 设函数fx在可测集E上几乎处处有限若对任意给定的0存在E中的一个闭集F使mEF且fx在F上连续则fx是可测集E上的. .

20. 是否存在开集使其余集仍为开集是或不是选其一填写 .

21如果 则称E是自密集如果 则称E是开集如 果EE则称E是 .

22设G表示为一列开集iG之交集1iiGG则G称为 .

23. 若F表示为一列闭集iF之并集1iiFF则F称为 .

24. abRbaf在E上可测则EfaEfb .

25. Cantor集的外测度为 .

26Fatou引理设nf是可测集qRE上一列非负可测函数则 .

二、判断题.

正确的证明 错误的举反例. 若AB可测 AB且AB则mAmB. 设E为点集 PE 则P是E的外点. 点集112En的闭集. 任意多个闭集的并集是闭集. 若nER满足mE 则E为无限集合.

6. 若E与它的真子集对等则E一定是有限集

7. 凡非负可测函数都是L可积的 8.设A为1R空间中一非空集若则 9.设E为可测集则存在G型集F使得EF且0FEm 在ba上L可积则xf在baR可积且babadxxfRdxxfL

三、 计算证明题

1. 证明:ABCABAC

2. 设M是3R空间中以有理点即坐标都是有理数为中心 有理数为半径的球的全体 证明M为可数集.

3. 设nERiEB且iB为可测集 12i.根据题意 若有 0imBEi 证明E是可测集. 设P是Cantor集 32ln101xxPfxxxP. 求10Lfxdx. 设函数fx在Cantor集0P中点x上取值为3x 而在0P的余集中长为13n的构成区间上取值为16n 12n 求 10fxdx. 求极限: 13230limRsin1nnxnxdxnx. 7.开集减