数学读书报告

转眼间，数学分析又接近尾声，我不禁问自己到底学到了什么，对数学有没有更高一层的认识，希望通过这次的总结能对以后学习数学乃至将来运用数学提供帮助。

我对数学分析的内容总结如下：

一、引子

大体上讲，数学分析就是研究实数范围内微分和积分的数学分支。它是在极限理论基础上，以定义在实数范围内的函数为讨论对象的一门数学专业基础课。 追溯历史，早在17世纪，Newton和Lebniz就各自独立地发明了微积分，当时是出于解决具体问题的需要。不过，那时的理论很不完善，诸如“无穷小”之类的概念根本没有严格的定义，由此引发出许多问题和矛盾。

后来，Cauchy和Weierstrass等人引入严格的分析语言，为分析学奠定了牢固的根基。他们的工作已经成为经典，成为数学系本科生的入门知识。

二、对书中部分章节的宏观理解

1.实数集与函数

书中以无限小数来引出实数的概念，便于初学者理解。值得注意的是，我们将有限小数也表示成无限小数的形式，由此，实数与无限小数之间构成一种对应。换句话说，任何一个实数都可用一个确定的无限小数来表示。

第二节中重点介绍了三角形不等式。需要强调的是，这一不等式贯穿整个数学分析课程，是一个极其重要的工具。在高年级课程中，我们会学习《泛函分析》。正如三角形不等式在数学分析中的重要作用，Minkowski不等式是泛函分析中一系列讨论的出发点。

此版本的《数学分析》中的极限理论是建立在确界原理之上的。

所谓确界原理是说：任一非空有界数集若有上界，则必有上确界。对于下确界有类似的结论。

注：它是实数连续性的体现。

2.数列极限

定理2.8是判定数列发散的有力工具。

Cauchy收敛准则给出了数列极限存在的充要条件，它的优点在于：无需借助数列以外的数，只要根据数列自身的特性就可以鉴别其敛散性。 注：它也是实数连续性的体现。

3.关于第三章中的“等价无穷小”

在计算函数极限时，采用“等价无穷小”替换往往可以简化计算过程，但不可滥用。可归纳为“乘除可用，加减慎用”。

4.关于函数的连续性与一致连续性

后者是比前者更强的性质，主要体现在一致连续性中的N只与那个任给的小正数有关，与自变量x的位置无关。

两者之间的联系由所谓的一致连续性定理给出，不再赘述。

5.关于微分中值定理

我们可以从几何图形上对中值定理予以直观的认识。其实Rolle定理是Lagrange中值定理的特殊情形，本质上是一样的。将后者的图像旋转一定的角度，就能成为前者。

Tayor定理的本质是：对于具有n阶连续导数，且具有n+1阶导数的函数而言，

可以用一个系数与函数f的各阶导数有关的多项式函数去逼近它。而多项式函数的性质是我们熟知的，便于研究。

顺便提一下，对于多元函数，也有类似的Tayor定理。笔者曾讨论过这一问题。一元函数的Tayor定理中的多项式的系数依赖于“二项式定理”,而多元函数的情形依赖于所谓的“多项式系数”。

6.关于平面点集与二元函数

与一元函数类似，我们有如下的关于二元函数的最大值与最小值定理：若函数f(x,y)在有界闭域上连续，则存在最大值与最小值。

事实上，这一结论对有界闭集也是成立的（后者往往更好用），不过其证明用到拓扑学的知识。

顺便提一下，关于二元函数的极大、极小值定理可直接推广至多元函数的情形，只需将相应的Hesse矩阵作形式上的改写，本质并无差别。

7.关于累次极限和累次积分

二重极限和累次极限的存在性无必然联系，我们应能正对具体问题熟练地举出反例。

在含参量正常积分与含参量反常积分中有类似的关于积分次序交换的问题。前者的条件是连续，而后者还需要加上一致收敛的条件。

三、数学分析中各部分内容之间的联系

数学分析中的内容十分丰富，且各部分内容间有着深刻的联系，这些联系是有趣而重要的，它们体现了分析学内在的统一性。

下面我就举几个例子谈谈自己的看法和体会。

1、在第一章中，我们学习了确界原理，在数列极限一章中学习了单调有界定理和Cauchy准则。在第七章中，我们又接触了区间套定理、Weierstrass聚点定理、致密性定理、Heine—Borel有限覆盖定理。现在我们知道它们之间是等价的，是统一的，都是实数连续性的体现。

2、在函数的连续性一章中，出现了介值性定理，其实数学分析中的“介值性”是普遍存在的，它揭示了某些函数或对象的中间状态，微分中值定理，积分中值定理都是“介值性”的体现，它们有着共同的本质。

3数项级数与反常积分、函数项级数与含参量反常积分之间有着紧密的联系，因而它们的研究方法是类似的，也有着平行的定理，定理19.8就体现了这种联系。 利用此定理我们可以把含参量反常积分的问题自然地转化为函数项级数的对应问题。Dini定理的证明就是一个很好的例子。

4、微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的深刻联系，应用广泛。

5、 从某种意义上讲，第一型曲线积分是定积分直接而自然的推广。

6、 Newton—Leibneiz公式不仅为连续函数（事实上条件可以再弱一些）的定积分提供了一种有效的计算方法，更重要的是，它将不定积分和定积分这两部分内容联系了起来。

7、 Green公式、Gauss公式、Stokes公式也有着类似的特点和作用。

8、 再1中提及的Heine—Borel有限覆盖定理可以将函数在局部上的性质过渡到整体上的性质，比如从局部有界到函数在整个闭区间上有界，从点点收敛到一致收敛等等。

四、结束语：

数学分析内容丰富，思想深刻，我们在学习的过程中应当积极思考、用心体会。

学习数学分析的方法：

1、利用数学方法论进行启发式教学。数学作为一门科学，数学有自己的发展规律、数学思想方法，数学中的发现、发明和创新法则，如归纳法、类比法、抽象分析法、模型法、公理化方法等,我们经常将数学方法论应用于数学分析课程的教学实践。

2、采用启发式教学，由浅入深，调动学生的积极性，重点，难点内容要反复强调，讲深、讲透，让同学们理解和接受。

3、采用参与式教学，适当、适时地提出问题，要求学生回答或在黑板上解答，鼓励学生自己讲，培养自学能力；如某些定理的证明，让学生自己讲，锻炼学生语言表达能力和思考问题的能力。

4、教学与实践相结合，如用Newton切线方法求解方程的根等内容，要求学生自己举例，大家积极性高，效果很好。讲授数学分析的概念时，强调“反璞归真”，讲清客观世界－数学抽象－数学语言，描述三者的关系。

5、利用现代教育技术的手段和方法于数学分析课程的教学实践,它在教学改革中的地位是传统教学手段无法替代的。本课程的教学采用传统方式（板书为主）与多媒体课件相结合的方法，对于需要较多逻辑推理的论证内容，一般采用板书形式，以利于教学过程中的启发与互动，也比较适合学生的思考方式和记录习惯，即使采用多媒体形式，也将“写字板”作为辅助工具，使之具有渐进式的推导过程，同时又有整齐、美观的版面。对于教材中现成的内容（如定义、定理的叙述）以及板书中不宜描述的内容（如某些三维图形），一般采用多媒体课件及数学绘图软件，使之更直观、清晰、易于理解。这既节省了板书时间，也提高了学生学习的兴趣。

6、使用教学方法与教学手段的目的,是把教学内容的“学术形态转变为教育形态”，使学生能更容易理解和掌握，激发学生学习的兴趣、学习的主动性和创造性。

7、鼓励学生以“批判”的态度学习，超越教师，超越教材，启发学生深入思考的积极性。

8、充分利用院、系教学机房和实验室的计算机、网络环境及校、院图书馆、资料室资源扩展学生视野，培养和提高学生的综合能力和创新能力

也许很多人会认为数学是科研的基础，对于大多数人并不实用，我以前也是这样认为。在学微积分的时候我觉得数学好像很空洞，似乎与现实没什么联系，经过学概率统计我才发觉数学在以后工作的重要作用，而可惜的是，当我想努力学好它时却因微积分知识的缺乏而倍感吃力。基于此，我想学好数学就必须先认清它的用途，没有用的东西是没有人喜欢是学的，如果我们学数学仅仅是为了考试那也就太可悲了。

我最喜欢听的、看的都是与现实有很大联系的题目，在我看来，这些题目对我有用，所以花时间，花精力去学就值得。我认为，理论必须与实践相结合才能转化成生产力。

当大学从精英教育转为大众教育的同时，必然要求数学从研究型教育转变为实用型教育。但不可否认的是目前的数学教学尚未紧密联系现实，这也就要求教育部门、教师、学生必须进一步的努力。

数学除了要与现实结合，还要与计算机紧密联系。随着计算机的普遍化、微型化，人们将不再需要处理烦琐或大量的数据。可以预计，在未来的几年，计算机将变得像计算器一样普及。我们完全可以将那些复杂的运算交给计算机去处理。从而抽出更多的时间去理解数学知识及学会数学软件的使用。

学习数学不只是学习数学知识，还要锻炼自己的思维，早期的计算机人才多数也是数学人才，计算机编程与数学知识本身的联系必不是很紧密，但数学的逻辑性对编程却是至关重要的。逻辑性思维不止对计算机，对各行各业都有深远的影响。也许我们考完试后很快便将枯燥的数学工式忘得一干二净，但逻辑性思维却将陪伴我们一生。因此学习数学不仅需要记忆，更重要的是要学会思考。

数学是一门各知识点联系非常紧密的学科，不能因为某个知识点枯燥、烦琐就不去学好它。恰恰相反，我们必须花更多的时间去学它并把它学好。其实数学知识就像鱼网，有很多漏洞的鱼网是不可能网到大鱼的。

数学是一门基础学科，我们要想在科研、统计，还有财经、会计，再还有~~等等众多方面有所建树就得把它学好，要想使自己变得聪明还是必须得将它学好。

参考书籍： 数学分析

内容摘要：我读的这本书的书名是《数学符号史》，书号7-03-017017-2，作者是徐品方和张红。内容简介：我看的这本书主要是介绍数学符号的发展史，本书分为五个章节，即算数篇，代数篇，几何、三角篇，高等数学篇，符号学篇——论数学符号史。这本书详细的介绍了数学符号在古今中外的发展历程。本书经过对史书的考察、论证，反映了当前大中小学数学常见的100多个符号的历史，并且融思想性与趣味性于一体，事我们了解到了世界数学符号发展的概貌。本书 将数学符号的发现与发展写的十分生动。使我了解到数学符号的产生和发展是一部动人的历史。每一个符号的背后都是一个美丽的故事；它有奇特的构思、惊人的演变和偶然的创用趣事。少数符号令人读起来如天书，光怪陆离。但是总的来讲，流传至今的数学符号，大都为我们勾画出一幅数学历史发展的绚丽多彩的画卷，充满诗情，读后令人陶醉、感叹，流连忘返。

心得体会：看这本书我的体会主要是从两个大的方面来阐述。第一是我看了本书后的总的收获，第二是我对本书每个章节的.认识。

这本书不同于一般的数学史书在于它是着重讲数学符号的产生发展史。本书的语言比较形象、生动。看了这本书后，我对数学符号有了更加深刻的印象。我知道了现在数学符号通用的有300多个，常见的有200多个，而聪明的人类早就运用着数学符号。我对数学符号的感性和理性认识又进一步加深了。数学符号是数学特殊的文字，它们

像一颗颗耀眼的宝珠，镶嵌在数学思想高原的雄伟殿堂上，表明数学的概念、运算、关系和推理，使数学思维过程准确、概括、简明从而更容易揭示数学对象的本质。

我感受到了数学符号的神奇功能。就拿数学符号π来说吧，是圆周率。在自然界和人类生活的大千世界，曲线图形的柔和，就像皇宫壁画中仙女的衣纹，交相辉映。曲线中最简单最美的图形就是圆。通过看本书，我明白了π的计算是许多人经历了长期的努力的劳动成果。第一个用科学方法度量圆周长的长者阿基米德得出圆周长与直径之比（圆周率）为3.14.为了将圆周率算得更精确，计算圆周率吸引了古今一大批数学家。而有一位数学家却用他毕生的经历致力于圆周率的计算。数学家鲁道夫少年时期就献身于数学，一生许多时间致力于计算圆周率，废寝忘食，甚至通宵不寐。可见，今天的数学符号的成就是用数学家们的专心致力才得出的。但是，人们对π的研究还没有完，π的值仍有许多未解的迷。有许多巧合的数字特征，它的值还要继续算下去，人类一定要弄清楚这个数字的真面目才肯罢休。 现在，我谈谈我对每个章节的认识。第一章是算术篇讲述了记数符号的起源，介绍了中国、埃及、希腊、罗马、印度、阿拉伯、中美洲等地计数法及其符号，零的父母以及小数点的来历。我明白，在文字产生以前，人类就已经形成了数的概念，数目用实数记录，后来使用了结绳和契刻，随着记载数目的增大出现了进位制。各国国家的计算法及其符号也各具特色。而在文化史上，零的发现是人类最伟大成就之一。零是在自然数和分数产生之后才出现的，并且零是位值制计

数法的产物。零号的创造和发展史件了不起的大事，但它在漫长艰辛的开创和发展中，发生了许多动人的历史故事。令人想不到的是，零号是血和泪的产物。零的功能与意义也是十分重要的。这章也介绍了欧洲人最怕分数的来历。一个小小的分数符号的创用，在数学发展的历史长河中，不知俘虏了多少人的心灵，经过艰苦曲折的过程终于谱写出一段令人心醉的数学符号诞生的优美乐曲。而小数点的创造，也起到了举足轻重的作用。它将整数与小数分割开来。当然，乘号、小数点符号在世界尚未统一，他，们平等相处，相安无事，共为数学王国的公仆。

第二章是代数篇。主要的内容有等号，不等号，括号，负数，指数，根号，用字母表示数，方程，函数等等。这章中我明白了代数中的许多符号的来历与发展。数学符号发展史的天空上有许多星星。作为人类的引路星也好，照明星也好，无论怎样，它们总是人们心目中的光亮，如果没有它们，美丽的数学夜空将会黯然失色。一个符号的创造是衣服深邃的意境，恰似一丛芳草在春天里的阳光下微笑，却又不完全像火山那样短促而绚烂与壮观。创造是一种玩强不息，拼搏进取的象征，是艺术创造和精神升华的完美结合。我们可以看到，笨拙的符号寿命很短，过早夭折或成为过眼云烟，而精贵的、沿用至今的一些数字符号，却是艺术创造和精神升华的完美图案。我们不仅要弄懂符号的意义，还要了解创造者得一片苦心。

第三章是几何、三角篇。主要内容有点线面弧的符号，几何中象形符号，三角函数的符号。加深了我对几何、三角符号的深入认识。

我懂得了点的人生哲理，在人类历史的长河中，岁月无情，人生的道路是艰难的，一个人受到挫折时往往感到困惑不解，然而，它却不知道人生的每一步都是新的起点。可见，数学史上为了一个小小的几何点的记号，从1202年到1801年，前后花了600年才确定下来。本章还介绍了几何中的象形符号，这些符号在于它们的刚柔相济。数学史的发展，包括区区角度符号的认可、通用，其实都是“马拉松赛跑”，因此，数学的发现，贵在持之以恒。最后是三角函数的符号，三角起源于天文、测量等实际需要，与古希腊几何有着不可分割的联系。由于三角学起源于天文、测量等实际需要，因此，埃及、巴比伦、中国古代三角学知识都有所发现。

第四章是高等数学篇。这一章主要讲述高等代数中的符号和微分符号级数理逻辑符号。微积分的诞生经历了潜伏期、预备期和完整期的二千多年的演变历史。发现真理易，坚持真理难。这一章，给我印象深刻的是古往今来，莱布尼茨的微分和积分的方法和符号，被人用一些美丽的词藻赞颂，说是一件稀世之珍，似肖像画，使人迷恋、陶醉；又似雕塑，风姿卓越，妩媚逗人；又似一音符，给人以巨大的感染、启迪、鼓舞。

第五章是符号—题。—论数学符号史。这一章从理论上探讨数学符号的意义、重要性与作用，数学符号的产生、发展、改革、分类和教学等使读者能够进一步加深对数学符号的理解。

结语：总之，数学符号相对于日常书面语言语口头语言是有局限性的，它是为适应数学思维特殊需要而出现的。所以，它是数学科学专用的

特殊文字，是含义高度概括、形体高度浓缩的一种科学语言。因此，我读了本书之后，我觉得数学符号的作用和意义是特别重大的。作为一名师范学院的学生，我更应该牢牢记住书中的知识，为自己的专业知识打下扎实的基础。