求不定积分方法总结

大学数学不定积分是基本内容，那么，今天，小编给大家分享的是求不定积分方法总结，供大家阅读参考。

1、不定积分的线性性

成立的前提是，f和g都有不定积分！

这个性质在计算不定积分时，经常用！一般都是把难计算的不定积分，转化为一个个容易计算的不定积分。例题就不说了，看书。

2、分部积分法

这是一个很有效的计算积分的办法！一定要掌握！

从本师的教学经验来看（别丢鸡蛋！），初学者（就是你们了！）往往在两个地方犯难：

（1）不知道怎么凑微分

（2）不知道把谁当u，谁当v

另外，一个不定积分的计算，可能需要好几次分部积分。我们来道普通的例题。

3、有理函数的积分

有理函数的积分，是一类常见的不定积分。它有一套通用的办法求解，并且很多不定积分，经过适当的换元后，可以转化成有理函数的不定积分来计算！所以，这种类型的不定积分，一定要掌握！

其中P和Q是x的多项式函数。

这个类型的积分，主要是通过拆项，化成简单的不定积分来计算。

下面的步骤，其实就是教你怎么拆项。

(1) 用辗转相除法，将被积函数化成一个多项式和“真分式”的和：

(2)

h(x)是多项式函数，积分不要太简单！现在就是要计算右边这个积分了。

(3)

对Q(x)因式分解。因为我们考虑的是实系数多项式，由＊＊定理，多项式Q(x)一定能分解成下面两种类型的`因子的乘积：

(4) 利用待定系数法，将r/Q拆分，拆成简单的分式的和。举例说明：

然后，右边同分，比较等式两边分子的系数。

这样就会得到待定系数的一个一次方程组，解之（非常简单），算出待定系数。

例子1

例子2

后面都会，不写了。记得反带回去，最后要是x的表达式！还有每日＋C！

4、 第一类换元（凑分法）u=g(x)，主要是要记牢常见的求导公式，然后多从右往左看。

5、第二类换元，x=u(t)

要注意，u(t)必须是单调的！所以一般要指明t的取值范围。这里，换元的技巧非常多，本师也只掌握了其中一些常用的。

(1) 倒代换 x=1/t

使用的对象特征很明显

来个例子

t<0时，类似处理，最后再下结论。

(2)

这种形状的积分，直接换元掉根号。

例子说明一切！

(3) 三角换元

这是让大家又爱又恨的积分法。爱是因为它实在是太好用了，恨是因为它实在是太多选择太多恒等变化了！

这种情况，用合适的三角函数去换元。注意，换元的目的，在这里是为了去掉根号，以便达到简化被积函数的目的。知道这一点，你就知道如何选择三角函数了。另外，注意新变量的取值范围，以保证单调性。

书上有太多这样的例题，这里不列举了。

下面主要和大家分享下三角函数有理式（三角函数的乘除）的计算技巧。

(i)遇奇次幂，拿一个出来，凑到微分里

(ii)都是偶数次幂，倍角公式降幂

(iii)积化和差公式

(iv)当三角函数幂次较低时，使用万能公式换元

(v) 配凑法

解之，得I_1,I_2.